摘要： 研究了具有不可展空间曲面的混凝土搅拌运输车搅拌筒螺旋叶片的曲面方程和展开计算； 基于弹塑性大变形有限元数值成形技术进行了回弹量模拟， 并应用于螺旋叶片成形模具设计。实际工程实践表明， 回弹量模拟和多线成形技术的运用， 显著地改善了螺旋叶片的成形效果和效率，明显地提高了混凝土搅拌运输车搅拌筒的工作性能和混凝土的质量。
关键词： 螺旋叶片 螺旋面 展开 回弹模拟 模具设计
螺旋曲面是现代机械制造中经常使用的一类曲面， 混凝土搅拌运输车搅拌筒内的螺旋叶片便是其中一例。作为混凝土搅拌运输车的关键部件， 搅拌筒螺旋叶片质量的好坏直接决定着混凝土的搅拌、进出料性能和混凝土本身的质量。更重要的是影响施工工程的质量。因此寻求解决此类工件曲面加工成形已成为现代机械制造技术中有迫切性的重要课题之一[1]。
1 螺旋面方程
混凝土搅拌运输车搅拌筒内有两条互错180°对称布置的螺旋叶片， 叶片与筒壁焊接， 筒壁分三段， 前锥和后锥采用在任意截锥圆锥具有相同等升角的圆锥对数螺旋片， 中间圆柱段则采用各截圆圆柱具有不同等升角的圆柱螺旋叶片[2]。
如图1 所示圆锥对数螺旋线的方程[3、4]为：
在空间设一条与Z 轴相交， 且夹角ω和长度d均为恒值的直母线Γ：
当直线Γ的端点Md 沿圆锥对数螺旋线运动便形成圆锥对数螺旋面， 如图2 所示。由式( 1) 、( 2) 不难求得圆锥对数螺旋面方程为：
式中： ρo ———初始极径
ρ———极径
α———半锥角
θ———极径ρ在XOY 平面的投影与X 轴的夹角， 即圆锥对数螺旋线的螺旋转角
β———圆锥对数螺旋线的切线与圆锥母线的夹角， 即圆锥对数螺旋线的螺旋角
ω———直母线与Z 轴的夹角
d———直母线的长度
t ———参变量
如图3 圆柱螺旋线方程为：
同理可得如图4 圆柱螺旋面方程为：
式中： R———圆柱半径
θ———螺旋转角
β———螺旋角
由于搅拌筒各段在结构方式上采用形式不同的螺旋面， 为使曲面在各段之间光滑地过渡连接， 使用非线性最小二乘法进行曲面拟合。根据最小二乘法原理， 使各数据点到所拟合曲面片的距离的平方和达到最小值即：
式中： pi， i =1， 2， ⋯， m 是三维数据点， 为所拟合曲面的参数。曲面拟合后双螺旋叶片的结果如图5 所示。
2 螺旋叶片的展开计算
为了能成形上述螺旋曲面， 务必首先将之展开，以便平板下料。之后再通过模具冲压还原成螺旋曲面。根据微分几何理论， 不管是圆锥对数螺旋面还是圆柱螺旋面， 它们都是不可展曲面[3]。因此，它们不可能摊展在一张平面上， 只能采用近似展开尽可能地趋近理论曲面。区间[θ 0， θ1]( 其中θ0<θ1) 曲线弧长S理论计算公式为：
取t =ti ， 将圆锥对数螺旋面方程式( 3) 和圆柱螺旋面方程式( 5) 代入式( 7) ， 即可求得不同截锥圆锥对数螺旋线或不同截圆圆柱螺旋线弧长。对于圆柱螺旋线， 由式( 7) 积分得t i 处弧长的计算式为：
式中： Ri ——ti 处截圆圆柱半径
βi———ti 处螺旋角如图6 所示， 设展开面外半径为Rw， 弧长为L；内半径为Rn ， 弧长为l ， 由于螺旋曲线展开长度与展开半径成正比， 即：
对于圆锥对数螺旋线， 由式( 7) 积分求解困难，使用折线逼近曲线的数值积分方法得t i ， 即αi 锥角处弧长的计算式为：
式中：m 为区间[θ 0， θ 1]等分数。显然， m 取值越大，则Si 越精确。利用计算机程序和绘图便可获得较为精确的展开平面。
3 螺旋叶片的回弹量模拟
螺旋叶片要一段段压制而成， 叶片由高强度耐磨材料制作。要将平板材料压制成不可展的螺旋曲面， 影响准确成形的关键问题便是材料的回弹。产生回弹的主要原因在于材料具有弹性变形特性， 即在板材压制时， 伴随塑性变形的同时还有弹性变形的成分存在， 特别是对大位移变形零件的成形， 卸载过程中以及之后一部分变形总是趋向恢复， 便产生了材料的回弹。回弹使成形件的曲率和角度发生变化，直接影响成形件的质量。
有限元数值成形模拟技术的发展， 克服了传统成形技术为补偿回弹引起的尺寸和形状的改变而反复调试及修补实际模具的低效率的缺陷， 利用计算机对冲压成形工艺技术参数实现定量数值仿真研究， 使得新产品开发时间大为缩短， 费用显著降低。
板料成形是一个十分复杂的力学过程， 具有高度的几何非线性和材料非线性， 其数值分析以增量法为主[5]。依据变分原理和虚位移原理， 采用有限元方法， 在考虑接触作为约束条件的情况下， 坯料运动方程经离散化后的单元矩阵形式为：
式中：M 、C———质量与阻尼矩阵
u ———节点位移矢量
———节点速度矢量 ü———节点加速度矢量
P ———外力引起的节点载荷矢量
F ———内力引起的节点载荷矢量
Fc———接触力引起的节点载荷矢量
利用计算机对坯料运动方程迭代求解完成板料成形问题的数值分析。借助于板料成形仿真专用软件系统， 可以得到回弹量模拟修正后的螺旋叶片。
4 螺旋叶片的模具设计
鉴于螺旋叶片曲面特性， 该模具采用与多点成形技术类似的多线成形技术。
根据回弹量模拟结果生成的下实体模模具型面如图7 所示。为了尽可能地简化模具的设计和加工，通过多线成形技术， 将模具进行切片离散化处理。单独提取各块切片， 生成便于数控等离子平板下料用工程图纸。各切片焊接成的压型下实体模的模具型面如图8 所示。
同理可以获得螺旋叶片压型上实体模的模具型面。整个螺旋叶片的压型模具如图9 所示。
由于采用回弹量模拟和多线成形技术， 大大地降低了设计与加工模具的时间和费用。
5 结束语
通过对混凝土搅拌运输车关键部件搅拌筒螺旋叶片成形技术的研究， 建立了螺旋叶片曲面的理论方程， 塑造了螺旋叶片的光滑曲面模型。该模型的建立为曲面的展开和成形提供了理论基础。有限元数值成形仿真技术的最终目的是为螺旋叶片成形模具设计提供科学的数据， 方便修正模具型面的尺寸， 保证产品的几何精度。工程实践结果表明， 回弹量模拟和多线成形技术的运用， 显著地改善了螺旋叶片的成形效果和效率， 明显地提高了混凝土搅拌运输车搅拌筒的工作性能和混凝土的质量。
