摘 要：对先张法预应力混凝土梁反拱计算进行了较细致的讨论，推导了计算反拱的较为精确的计算公式，并在此基础上推导了方便实际工程运用的简便公式。
关键词：先张 预应力 徐变 挠度
近年来，先张法预应力混凝土(空心)板梁在桥梁建设中，特别是一些高等级公路中得到了广泛的应用。例如，已开通的宁连一级公路淮阴段二期工程中，有80％以上单跨大于16m跨径的中小桥采用先张法预应力混凝土空心板梁。这种梁的主要优点是跨越能力较大，施工方便，可大批量工厂化集中预制，因此具有广泛的推广价值。
但是，先张法预应力混凝土梁在预应力筋及混凝土收缩徐变等因素的影响下，不可避免地要产生向上的挠度即反拱。由于采用先张法的施工工艺，这种反拱很难采用预设反向挠度的方法加以解决。过大的反拱值将影响梁的使用刚度，导致调整行车困难，加大车辆的冲击作用，引起桥梁的剧烈振动。同时由于反拱的存在，可能使桥面铺装层厚度不均，若设计时忽略反拱的因素，则可能导致桥面铺装层厚度不够。因此，对反拱的计算就显得十分重要，用计算的反拱值来控制设计和施工显然具有很大的意义。
介绍先张法预应力混凝土梁反拱计算的文献已有，但是往往考虑的因素不够，所用计算公式精度较差，其结果较难精确地反映实际情况。本文对此作了较细致的讨论，推导了计算先张法预应力混凝土梁反拱值的较精确的计算公式，同时为了方便实际工程的需要，在此基础上又推导了具有一定精度的简化计算公式。
1 计算内容
本文针对先张法预应力混凝土梁，计算其反拱组成有：
(1)结构恒载自重作用下的找度；
(2)释放预应力筋时即梁在预应力筋初始张拉力作用下产生的短期挠度；
(3)释放力筋至时刻t时由于力筋松驰、收缩和徐变等因素引起的预应力损失所导致的挠度改变；
(4)在持续预应力作用下由于混凝土徐变所产生的挠度改变。
2 基本假定
在挠度计算过程中，我们作了如下假定：
(1)预应力看作是作用在梁上并随时间而变化的外荷载。忽略梁内钢筋对混凝土梁材料的不均匀影响因素，将梁视为匀质材料构成：
(2)梁从力筋放松到使用不开裂，计算梁抗弯刚度时，采用全珙面的换算惯性矩I0；
(3)混凝土弹模Eh是随着时间增加而变化(增加)的，因此，梁的抗弯刚度是不断变化的。考虑到梁在初期弹模较小，同时，由于梁反拱的扩展，将降低梁的抗弯刚度，故为方便计，在整个挠度计算过程中采用不变的抗弯刚度即0.85EhI0
(4)在计算预应力筋由于混凝土徐变而产生的挠度变化时，徐变作用看作是在恒定的预应力作用下发生的，该力等于初始张拉力与计算反拱终值时张拉力的平均值；
(5)计算预应力筋弯矩Mp引起的挠度f时，梁在任意时刻Mp-f曲线为线性关系。
3 基本公式推导
梁跨中在放松力筋(混凝土龄期τ)到任意时刻t(混凝土龄期t)时挠度ft可表示为：
ft=fg+△fg-fyp+△fy1-△fy2 (1)
式中：ft--梁在自重作用下产生的挠度(向下)；
fg--迄至时刻t时在梁自重作用下由于混凝土徐变产生的挠度改变(向下)；
△fg--梁在初始张拉力yp作用下产生的短期挠度(向上)；
△fy1--迄至时刻t由于松驰、收缩和徐变引起的预应力损失所产生的挠度改变(向下)；
△fy2--迄至时刻t在持续压力下由于混凝土徐变产生的挠度改变(向上)。
若时刻t预应力筋应力损失发生后的有效拉力为Pye，则根据假定e有：
△fy1=fyp-fye
式中fye为Pye产生的挠度，代入式(1)有：
ft=fg+△fg-fye-△fy2 (2)
式(2)即为计算挠度的基本公式。
4 挠度计算
4.1梁在自重作用下的挠度fg计算
梁在自重作用下产生挠度fg及时刻t在梁自重作用下由于混凝土徐变产生挠度△fg计算，对于跨长简支梁，其自重作用下的跨中挠度为：
fg=5gl4/384EI
式中：
g--自重集度；
l--跨长；
EI--计算抗弯刚度，取EI=0.85EhI0，Eh为混凝土弹模，I0为换算截面惯性距。
时刻t在梁自重作用下由于混凝土徐变产生的挠度为：
△fg=fg· (t，τ)
式中： (t，τ)--加载龄期等于τ至龄期t时的徐变系数。
故有：fg+△fg=fg·［1+ (t，τ)］
4.2 梁在预应力筋弯矩作用下的挠度fy计算
为了避免先张法梁产生过大反拱，梁内有的预应力筋在梁端部附近套有塑料套管，故梁内的力筋有效工作长度不一。根据《公路钢筋混凝土及预应力混凝土桥涵设计规范》(JTJ023-85)(以下简称《公桥规》)第5.2.20条，预应力筋即在力筋有效长度端部为零，在传递长度末端预应力值达到σy(见图1)。
由图2，根据虚功原理，梁在预应力Py作用下引起的跨中挠度为：
式中：ey--力筋重心至换算截面重心的距离，EI=0.85EhI0。
4.3 时刻t考虑松驰、收缩和徐变引起的预应力损失后的有效拉力Pye的计算
预应力损失内容中，力筋与台座间的温差引起的应力损失仅当构件采用蒸汽或其它方法加热养护砼时才予以计算，一般可不考虑。这里考虑如下三项应力损失。
4.3.1 力筋松驰引起的应力损失σ1
现在先张法预应力砼梁多采用低松驰的钢绞线作为预庆力筋，松驰率约为3.5％，本文取σ1=0.035σk，σk为张拉力筋时控制应力。
先张法构件在预加庆力阶段中，考虑其持荷时间较短，一般按松驰损失终值的一半计算，其余一半则认为在随后的使用阶段中完成。
4.3.2 砼弹性压缩引起的应力损失σ2计算
放松力筋时，砼产生的全部弹性压缩量引起力筋的预应力损失为(按一次放松力筋考虑)：
σ2=εyEy=εh·Ey=σh·Ey/Eh=ny·δh
式中：
ny--力筋与混凝土弹模之比；
σh--计算截面(跨中)的力筋重心处，由预加力产生的混凝土应力，按下式计算：
式中：
Ny0--混凝土应力为零时的预应力筋的预加力，取Ny0=Ay(σk-1/2σ1)；
A0--构件换算截面积；
Ay--力筋截面积；
4.3.3混凝土收缩、徐变引起的应力损失σ3计算
由砼收缩徐变引起的应力损失，应考虑非预应力筋的影响，详细可参阅《公桥规》附录九。
确定预应力筋上述三项预应力损失后，可求得时刻t考虑预应力损失后的有效拉力为：
Pye=Ay(σk-1/2σ1-σ2-σ3)
4.4 时刻t在持续压力下由于混凝土徐变产生的挠度△fy2计算
根据假定d有：
将上述各项计算结果代入式(2)即可得到t时刻梁跨中挠度计算式为：
（4）
公式中fyp、fye根据式(3)计算。
需要指明的是，由于梁内力筋长度不同，故应先将不同长度的力筋进行编号，逐号计算，最后叠加得到总挠度值。
4.5 混凝土徐变系数φ(t，τ)的取值
混凝土徐变系数φ(t，τ)可参阅《公桥规》附录四计算，但其计算公式稍复杂，且要查阅许多图表为了适应编程的需要，这里推荐采用应用于老化理论的狄辛格方法求解。
狄辛格计算混凝土徐变系数的函数式为：
（5）
式中：
φkt--加载龄期τ时的混凝土徐变终极值。对于先张法预应力混凝土空心板梁可取φkt=3.0。
β--徐变增长速度系数，一般可取
0.006，精确计算按表1选取。
徐变增长速度系数β值表 表1
持荷时间(d) 7 14 28 56 90 120 180 1年 2年
β 0.015 0.012 0.020 0.008 0.007 0.006 0.005 0.004 0.003
注：持荷时间指自建立预应力开始至计时时止的时间间隔。
5 简化公式推导
基本计算公式仍为公式2，式中经一、二项计算同前。
5.1 计算公式2第三项fye
力筋按平均工作长度计算，My图在lc段简化为直线，力筋有效工作长度取ly+lc，则
（6）
对于先张法预应力砼空心梁，本文将力筋有效应力σy看成是σk乘以一折减系数k而得，即σy=kσk，k取0.65～0.8(存梁时间越长，取值越小)，则上式中Pye=kAyσk。
5.2 计算公式2第四项△fy2
根据假定e有：
将上述计算代入式2得简化计算公式：（7）
式中fye根据式6计算。
6 计算实例
某20m先张法预应力混凝土空心板梁，设计荷载：汽-超20级，挂-120级。板梁预制长l=19.96m，40＃混凝土，Eh=3.3×104MPa，截面A0=0.425m2，I0=0.0342m4。钢绞线规格j15.24(270级)，Ey=1.95×105MPa，σk=1339.2MPa，ey=0.38m，力筋放松时刻混凝土龄期τ=10d，各力筋根数及有效工作长度ly见表2。求板梁存放期，混凝土龄为t=90d时的反拱值。
预应力筋工作参数及fy计算表 表2
编号 根数 ly(m) lc(m) Ay(mm2) Py(kN) Pye(kN) fye(cm) fyp(cm)
1 4 19.96 0.00 1.0 601.2 750 577.0 -1.18 -1.47
2 2 16.80 1.58 1.0 300.6 375 288.5 -0.56 -0.70
3 2 15.20 2.20 1.0 300.6 375 288.5 -0.55 -0.69
4 2 13.20 3.38 1.0 300.6 .75 288.5 -0.50 -0.62
5 2 11.00 4.48 1.0 300.6 275 288.5 -0.45 -0.56
6 2 7.80 6.08 1.0 300.6 375 288.5 -0.33 -0.42
合计 14 -3.57 -4.46
解一：用精确公式4计算
(1)计算恒载自重产生挠度fg
恒载集度g=10.62kN/m，
(2)徐变系数φ(t，τ)的计算
根据公式5，将φkt=3.0，β=0.007，t=90，τ=10代入得φ(t，τ)=1.31
(3)计算预应力损失及有效张拉力
损失一：σ1=0.035σk=46.87MPa
跨中：Ny0=Ay(σk-1/2σ1)=2579kN
故损失二：σ2=ny·σh=5.9×16.96=100.1MPa
根据《公桥规》附录九计算损失三：
σ3=［ny·σh·φ(t，τ)+Ey·ε(t，τ)］/(1+10μ·ρA)
式中各符号意义见规范。这里，ny=5.9，σh=16.96MPa，μ=0.46％，ρA=1+e0 2(I 0/A 0)=2.794，φ(t，τ)=1.31，ε(t，τ)=0.00015。
各参数代入计算得σ 3=142.1MPa
每根力筋的跨中有效应力视为相同，则其有效张拉力为
Pye=Ay(σk-1/2σ1-σ2-σ3)=150.3kN
(4)计算梁跨中初始张拉力Pyp及时刻有效t时刻有效拉力Pye张拉力产生的挠度由公式3计算，结果见表2。
(5)计算时刻t在梁自重及预应力作用下由于混凝土徐变产生的挠度△fg及△fy2
(6)计算时刻t梁跨中最终反拱值
ft=fg+△fg-fye-fy2=2.3+3.01-3.57-5.26=-3.52cm(↑)
解二：用简化公式7计算
(1)fg·［1+φ(t，τ)］=2.3×(1+1.3)=5.31cm(↓)
(2)Pye=kAyσ k=0.7×14×140×1339.2×10-3＝1837.3kN
力筋平均有效工作长度ly= nly/14+lc=15.85m
(3)最终挠度
7 结束语
本文介绍的称张法预应力混凝土梁反拱计算公式，计算结果准确可靠，公式中没有需查表计算的参数，故可方便地编程计算。提供的简化公式仅供参考，正式设计应以精确公式计算。由于混凝土徐变系数对反拱影响较大，故为了提高计算精度，对混凝土徐变系数建议仍采用《公桥规》中的公式计算。但一般情况下，文中提供的计算公式精度已足以满足实际工程需要。
